有限数学示例

$\sqrt{2 x + 169} - \sqrt{x + 1} = 12$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\sqrt{x + 1}$ 。

$\sqrt{2 x + 169} = 12 + \sqrt{x + 1}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 x + 169}}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x + 169}$ 重写成 ${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 x + 169)}^{1} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$2 x + 169 = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ 重写为 $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ 。

$2 x + 169 = (12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$2 x + 169 = 12 (12 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $12$ 乘以 $12$ 。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $12$ 移到 $\sqrt{x + 1}$ 的左侧。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

乘以 $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.3.1

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.2

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

将 ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 重写为 $x + 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.4.1

约去公因数。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4.2

重写表达式。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.5

化简。

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x + 1$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $144$ 和 $1$ 相加。

$2 x + 169 = 145 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x$

解题步骤 3.3.1.3.3

将 $12 \sqrt{x + 1}$ 和 $12 \sqrt{x + 1}$ 相加。

$2 x + 169 = 145 + 24 \sqrt{x + 1} + x$

解题步骤 4

求解 $24 \sqrt{x + 1}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$ 。

$145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$

解题步骤 4.2

将所有不包含 $24 \sqrt{x + 1}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $145$ 。

$24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169 - 145$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$24 \sqrt{x + 1} = 2 x + 169 - 145 - x$

解题步骤 4.2.3

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$24 \sqrt{x + 1} = x + 169 - 145$

解题步骤 4.2.4

从 $169$ 中减去 $145$ 。

$24 \sqrt{x + 1} = x + 24$

解题步骤 5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(24 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$24^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $24$ 进行 $2$ 次方运算。

$576 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

约去公因数。

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

重写表达式。

$576 {(x + 1)}^{1} = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

$576 (x + 1) = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

运用分配律。

$576 x + 576 \cdot 1 = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

将 $576$ 乘以 $1$ 。

$576 x + 576 = {(x + 24)}^{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简 ${(x + 24)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

将 ${(x + 24)}^{2}$ 重写为 $(x + 24) (x + 24)$ 。

$576 x + 576 = (x + 24) (x + 24)$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 24) (x + 24)$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$576 x + 576 = x (x + 24) + 24 (x + 24)$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 (x + 24)$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

解题步骤 6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$576 x + 576 = x^{2} + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

将 $24$ 移到 $x$ 的左侧。

$576 x + 576 = x^{2} + 24 \cdot x + 24 x + 24 \cdot 24$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

将 $24$ 乘以 $24$ 。

$576 x + 576 = x^{2} + 24 x + 24 x + 576$

解题步骤 6.3.1.3.2

将 $24 x$ 和 $24 x$ 相加。

$576 x + 576 = x^{2} + 48 x + 576$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 48 x + 576 = 576 x + 576$

解题步骤 7.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $576 x$ 。

$x^{2} + 48 x + 576 - 576 x = 576$

解题步骤 7.2.2

从 $48 x$ 中减去 $576 x$ 。

$x^{2} - 528 x + 576 = 576$

解题步骤 7.3

从等式两边同时减去 $576$ 。

$x^{2} - 528 x + 576 - 576 = 0$

解题步骤 7.4

合并 $x^{2} - 528 x + 576 - 576$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.1

从 $576$ 中减去 $576$ 。

$x^{2} - 528 x + 0 = 0$

解题步骤 7.4.2

将 $x^{2} - 528 x$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 528 x = 0$

解题步骤 7.5

从 $x^{2} - 528 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - 528 x = 0$

解题步骤 7.5.2

从 $- 528 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 528 = 0$

解题步骤 7.5.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 528$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 528) = 0$

解题步骤 7.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 528 = 0$

解题步骤 7.7

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.8

将 $x - 528$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.8.1

将 $x - 528$ 设为等于 $0$ 。

$x - 528 = 0$

解题步骤 7.8.2

在等式两边都加上 $528$ 。

$x = 528$

解题步骤 7.9

最终解为使 $x (x - 528) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 528$

解题步骤 8

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